ベクトル(Vector) — 「複数の数字でひとつのモノを表現する」道具

「LLM はトークンを ベクトル に変換してから処理する」と聞いて、「ベクトル…?」と引っかかった人向け。

ベクトルは、高校数学に出てきた 「矢印」 のイメージとは少し違う。機械学習の文脈では、ただの 「順序が決まった数のリスト」 に過ぎない。だが、この道具が現代の AI 全体の土台になっている。本記事はベクトルの正体を、仕組み・直感・コンサル業務との接続 の3点で押さえる。

ベクトル = 順序付きの数のリスト

定義は身も蓋もなくシンプル。

ベクトル = 順序が決まった数のリスト

例:

v1 = [3.2, -1.4]              ← 2次元
v2 = [0.1, 0.5, -0.3]         ← 3次元
v3 = [0.21, -0.43, 0.67, 0.05, ...]  ← N次元(N個の数)

順序が決まっている という点が重要だ。[1, 2] と [2, 1] は別のベクトル。位置と中身がセットで意味を持つ。

数の個数のことを 次元(dimension) と呼ぶ。2次元、3次元までは「矢印」として図で描けるが、4次元以上は描けない。だが概念としては存在し、機械学習では数千〜数万次元のベクトルが普通に登場する(GPT-3 のトークン埋め込みは 12,288次元)。

直感: 「1つのモノを複数の数字で表現する」道具

なぜわざわざ「順序付きの数のリスト」という概念を使うのか。

理由は単純で、1つのモノに複数の属性があるとき、それをまとめて扱いたいから。

たとえば顧客企業1社を表現したいとする。「会社名」だけでは少なすぎる。実際には:

顧客A = [売上, 業界コード, 従業員数, 地域, 創業年, 成長率, 利益率, ...]

…のような 複数の数値属性のセット が必要になる。これがそのまま「顧客ベクトル」だ。

別の顧客B も同じフォーマットでベクトルにすれば、顧客A と 顧客B の 「近さ」 を計算できる(後述: 内積)。これがレコメンド・類似事例検索・クラスタリングの基盤になる。

コンサル業務にもう一歩寄せる

コンサルが普段やっている仕事の中に、実はベクトルとほぼ同じこと がたくさんある。例:

「行が1つの対象、列が複数の属性」のシートはすべてベクトルの集まり。エクセルで毎日触っているアレは、数学的にはベクトル群として整理できる。

逆に言えば、機械学習にとっての「ベクトル」は、コンサルにとっての「多軸スコアシート」とほぼ同じ概念。次元が 12,288 と多いだけ。

演算ができる: ベクトル同士で足し引きできる

ベクトルの真価は、演算ができる ことにある。これがただの「数のリスト」を超えて、AI の主役になった理由だ。

足し算と引き算

同じ次元のベクトル同士なら、要素ごとに足したり引いたりできる。

v1 = [1, 2, 3]
v2 = [4, 5, 6]

v1 + v2 = [1+4, 2+5, 3+6] = [5, 7, 9]
v1 - v2 = [1-4, 2-5, 3-6] = [-3, -3, -3]

これが「意味の演算」(king – man + woman ≈ queen)の土台になっている。ベクトル空間内では、意味の合成や分解が、ただの足し算と引き算で表現できる。

スカラー倍

ベクトル全体に1つの数を掛けると、全要素がその倍数になる。

2 × [1, 2, 3] = [2, 4, 6]

内積(Dot Product)

これが特に強力。2つのベクトルがどれだけ「同じ方向を向いているか」を1つの数値で測れる。詳細は別記事に譲るが、「類似度」を計算する最も基本的な道具 として、検索・推薦・分類のあちこちで使われる。

トークンとベクトルの関係(LLM 文脈での主役)

LLM の中で起きていることに引き戻すと、トークン1つひとつがベクトルに変換されてから、すべての処理が始まる。

トークン 「king」  →  ベクトル [0.21, -0.43, 0.67, 0.05, ..., 0.13]
                                         ↑ 12,288 個の数

この対応関係は 埋め込み(Embedding) と呼ばれ、別記事で深掘りする。

ここで覚えておきたいのは2点だけ。

1. LLM は文字列を直接扱わない。必ず一度ベクトルに変換してから処理する
2. ベクトル化されたあとは、足し算・引き算・内積 などの数学的演算がすべて可能になる

つまりベクトルは、「テキスト」という人間的なものと、「数値計算」という機械的なもの の橋渡し をしている。ここが現代 AI の最大の発明と言ってもいい。